例えば、毎年一定の金額（Ｃ）が永遠に支払われるとします。割引率（期待収益率）をｒとすると、それぞれのキャッシュフローの現在価値は以下のようになります。
・１年目： \(\frac{C}{(1+r)}\)
・２年目： \(\frac{C}{(1+r)^2}\)
・３年目： \(\frac{C}{(1+r)^3}\)
・・・・ｎ年目： \(\frac{C}{(1+r)^n}\)
これらすべてを足し合わせた合計（ＰＶ）は、数学的には初項 \(a=\frac{C}{(1+r)}\) 、 公比 \(X=\frac{1}{(1+r)}\)の等比数列の和となります。
公式の誕生（なぜ「収束」するのか？）
無限に足し続けるのに、なぜ合計が出るのか。それは公比 \(X=\frac{1}{(1+r)}\)が１より小さいため、遠い未来の価値はゼロに限りなく近づく（収束する）からです。
無限等比級数の和の公式 \(S=\frac{a}{1-X}\)に当てはめると、驚くほどシンプルな式が導き出されます。
\(PV=\frac{C}{r}\)
「無限に続く未来を、たった一回の割り算で『今』に閉じ込めることができる。これが無限等比級数の魔法であり、金融の知恵です」
無限等比級数を使って「無限の未来」を「現在の価値」にギュッと凝縮するプロセスは、数学的にも金融理論的にも最も美しい部分の一つです。