「数学の抽象化の力」

今回も『数学の言葉で世界を見たら』を参照します。「数学」は物事を明晰に考える道具であり、また「数学の抽象化の力」は素晴らしいということを知ってほしいと大栗先生は思って、この本を出されていることが文章の随所に現れているので感動します。先生の言葉ですが、「数千年にわたる数学者の努力の跡をたどることは、人類の知の素晴らしさに触れるまたとない機会なので、大切にしてほしいと思う。」と述べられています。

「2次方程式の華麗な歴史」のくだりの中で「3大作図問題」があります。これらを2000年もの年月をかけて数学者たちは解こうと努力しました。ところが、定規とコンパスだけでは作図できないことが証明されてしまったのです。しかし、どうして不可能だなどといえるのだろう? みんなが思う疑問点ですよね。そこで重要になるのが「2次方程式」なのです。この判定基準を明確に述べたのは、人類史上最も偉大な数学者の一人、19世紀のカール・フリードリッヒ・ガウスだとされています。ガウスの発見によって、作図問題は定規やコンパスを使った作業から解放され、ある数が有理数と平方根で表現できるかという問題に昇華され、代数の方法で解くことができるようになったのです。これが「数学の抽象化の力」であると述べられています。

「微分」の概念

『数学の言葉で世界を見たら 父から娘に贈る数学』という本を手にしてみた。著者は大栗博司氏である。世界で活躍されている物理学者で、専門は「素粒子論」と記されている。そういう方が本題にもあるように「父から娘に贈る数学」の本を書いていることに興味がわいた。

読んでみるうちに大栗博士の虜になってしまった感がある。なかでも「微分」の概念の紹介には娘さんにこういう風に話したら解ってもらえるんだなとこちらが納得させられた次第です。

皆さんも是非お読みください!

あの有名なパラドックスのゼノンの時代からニュートンやライプニッツまで2100年以上の年月がかかったと記されている「微分」の概念をわたしたちはひとっ飛びで理解に漕ぎつけることを請け合います。

「物理学とは、常識に対する挑戦である!」

この言葉は松原隆彦先生の『目に見える世界は幻想か?(物理学の思考法)』というご本の「まえがき」の中にある。「常識とは、人間の思考を根底から支配していて、そこから抜け出すことはとても難しい。物理学者にとっても、それは同じである。」と言っておられる。また、「この世界が人間の常識的な感覚で思うようなものにはなっていない、という事実だ。これまでの思考法が通用しないとなると、苛立ちを覚えたり悲しい気持ちになったりするが、それは次へ進むために必要なスプリングボードだ。逆境から立ち上がると、それまでに見えていなかった地平が見えてくる。物理学の紆余曲折には、そうした要素が満ち溢れていて、読者が生きていく上においても、なんらかのヒントになってくれるのではなかろうか。」と述べられている。

「数式・図表なしの新物理入門」と帯に書かれている通り、まったくない。しかし、現代の物理学までの紆余曲折が素直に頭の中に入ってくるので、是非、お読みいただきたい。「マネーの世界」を読み解くヒントが満載だと考えているところです。

複利計算

  • 期間数と利率の決定法

利率は一般に、1年間の利率つまり年利%で表します。しかし、複利計算の場合は、単位計算期間つまり1年・1月・1日の利率に計算し直して【i】にストアする必要があります。

年数と1年間の計算回数を掛けて、全計算回数を求めたら【n】を押してnレジスタにストアします。iについても同様です。

単位利率が月利の場合、つぎにようなショートカットでnとiをストアする。

nを計算してストアするには年数を入力して【g】【12×】を押す。

iを計算してストアするには、年利%を入力して【g】【12÷】を押す。

このキーの操作方法は、表示している数値を12倍したり12で割るだけでなく、その結果をそれぞれのレジスタにストアする働きがありますので、その次に【n】・【i】を押す必要はありません。

HP12cPlatinum 金融電卓 日本語ユーザーズガイドより引用

  • 支払回数や複利期間数の計算(nの求め方)

1.【f】【FIN】を押して金融レジスタをクリアする。

2.単位利率を【i】または【g】【12÷】を使ってストアする。

3.次のうち少なくとも二つを入力する。(注意:負号変換に気を付ける。)

【PV】を使って現在価値(元金など)をストア。

【PMT】を使って毎回の支払額をストア。

【FV】を使って将来価値(最終月残高など)をストア。

4.【PMT】を押したら【g】【BEG】あるいは【g】【END】を押して支払時期設定

5.【n】を押して支払回数や複利計算回数を呼び出す。

キー操作      ディスプレイ

10.5【g】【12÷】  0.88   iを計算してストア

35000【PV】    35,000.00 PVをストア

325【CHS】【PMT】 -325.00  PMTをストア(現金支出はマイナス)

【g】【END】    -325.00   期末払いモードに指定

【n】        328.00     必要な支払回数(月数)

12【÷】       27.33  27年と4ヶ月。

HP12cPlatinum金融電卓 日本語ユーザーズガイドより引用

  • 複利計算の期間利率と年利の計算(最後に【i】を押して求める。)
  • 現在価値(当初の価値)の計算(最後に【PV】を押す。)
  • 支払額の計算(最後に【PMT】を押す。)
  • 将来価値の計算(最後に【FV】を押す。)

複雑な数式を意識することなく、「貨幣の時間価値」という概念(「時は金なり」とも言う)を複利計算の法則に則って理解できるようになります。まさに、この概念こそ「お金を生む」のですから私たちは大事にしなければなりません。しかし、私たち日本人の「お金」の常識の中にはこの考え方は根付いていないように思われます。さあ、金融電卓を手に取って(12P- Proは一般の電卓と同じく、安い料金で購入可能)、PV、PMT、FVの価値を計算してみましょう。そこに「マネー」とは何かという答えがあるのではと私は思っています。

 

 

単利計算

hp12cPlatinumは実日数と30/360日建ての両方の単利計算を同時に実行していまいます。

下記の方法でどちらかを表示させてください。表示している利息額と元金を足す(つまり元利合計を求める)にはRPNモードでは【+】を押すだけです。

  1. 日数を入力または計算してから【n】を押す。
  2. 年利%を入力して【i】を押す。
  3. 元金を入力して【CHS】【PV】を押す。
  4. 【f】【INT】を押すと30/360日建ての利息を計算して表示する。
  5. 実日数の利息を表示させるには【R↓】【x><】を押す。
  6. RPNモードでは【+】を押すと元利合計を表示する。

キー操作      ディスプレイ

60【n】      60.00    日数をストア

7【i】       7.00     年利%をストア

450【CHS】【PV】 ⁻450.00   元金をストア

【f】【INT】   5.25     30/360日建ての利息を計算。

【+】       455.25    元利合計額。

HP12cPlatinum金融電卓 日本語ユーザーズガイドより引用

【AMORT】キーを使う

「amortization」の略で「元本逓減」のことで、分割返済のローンなどで返済が進むにつれて残存元本が減少していくことを意味します。

住宅ローンや自動車ローンなどの返済計画表を作成する時には簡単に計算してくれます。

例 家を買うためにローンを検討しています。総額250,000ドルで年利5.25%、25年間の毎月月末返済で1,498.12ドルになります。最初の1年間の返済総額のうち、利息分と現金返済分を計算してください。

キー操作       ディスプレイ

5.25【g】【12÷】  0.44    iをストア

250000【PV】    250,000.00 PVをストア

1498.12【CHS】【PMT】-1,498.12  PMTをストア(現金支出なのでマイナス)

【g】【END】    -1,498.12  期末払いモードに指定

12【f】【AMORT】  -13,006.53 最初の一年間(12回)の利息合計。

【x><y】      -4,970.91    最初の一年間の元金返済分。

【RCL】【PV 】    245,029.09 一年間返済後の借入金残高。

【RCL] 【n】     12.00    返済済みの回数

 

定数計算2

定数計算1では計算結果(Xレジスタ)に定数を繰り返し掛けました。場合によっては、Xレジスタに新たな数値を入力して定数を掛けたり(あるいは足したり)したいことがあります。

このようなときは、まず【CLx】を押してから、新たな数値を入力して演算キーを押します。【CLx】を押してから新しい数値をXレジスタに入力して表示させてもスタックリフトはありません。

キー操作                                                ディスプレイ

4.38【ENTER】【ENTER】【ENTER】 4.38 定数を全てのレジスタに入れる

15                   15. 最初の個数をXレジスタ表示

【✖】                 65.70 15個入りの値段

【CLx】                75.表示をクリアし2番目の個数入力

【✖】                 328.50 75個入りの値段

【CLx】               250.表示をクリアし3番目の個数入力

【✖】                 1095.00 250個入りの値段

定数計算1

スタックリフトがあっても、Tレジスタの数値はそのまま残るので、この性質を利用して定数計算することができます。

定数をTレジスタに入れるには、まず定数を入力し(Xレジスタに入れ)てから【ENTER】を3回押します。この操作で、その定数が全てのレジスタに入ります。計算するたびに、最初に入力した定数がYレジスタにドロップしてきます。

キー操作              ディスプレイ

2【ENTER】【ENTER】【ENTER】 2.00   定数を全てのレジスタに保存

84000               84000.  初年度の売上をXレジスタ保存

【✖】               168000.00 翌年の売上

【✖】               336000.00 2年後の売上

【✖】               672000.00 3年後の売上

複雑な計算(RPNモード)

自動的にスタックリフトやスタックドロップをするようになっているので、操作の多い計算のときにも、他社の電卓のようにカッコを入力したり、中間結果を紙やメモリに保存する必要はありません。

実際にはどんな複雑な計算でも、4個のスタックレジスタだけで計算できるとは限りません。中間結果を計算のたびに数値を記録レジスタにストアしなくても済むようにするには、紙と鉛筆で筆算するときのように、カッコの内側から計算を始めて、順々にその外側を解くとよいでしょう。その方が少ないレジスタで計算できます。

HP12cPlatinum 金融電卓 日本語ユーザーズガイドより引用

LastXレジスタと【LSTx】キー

【+】、【-】、【✖】、【÷】などのキーを押すと、それまでのXレジスタの数値がLastXレジスタにコピーされます。

【g】【LSTx】を押すとスタックリフトして、LastXレジスタの数値をXレジスタにコピーして表示します。LastXレジスタの数値はそのままです。